Matematik Nedir? Dominolar ile Bir Örnek

Bu yazıyı okuyabilmek için özel bir matematik bilgisi gerekmiyor. Ortaokul düzeyinde dört işlem bilgisi yeter de artar bile.

Kendi ailem de dahil olmak üzere birçok insan bana üniversitede matematik okumanın nasıl bir şey olduğunu soruyor. Hangi dersleri gördüğümü, bütün gün hesap yapıp yapmadığımı veya bir matematikçinin ne işle uğraştığını merak ediyorlar.

Bu yazıda üniversitedeki matematik konularını tek tek anlatmayacağım. Bunun yerine, bu soruların arkasında yatan daha temel bir meseleyle ilgileneceğim: Okulda bize gösterilen matematik, matematiğin gerçek doğasını ne kadar yansıtıyor?

Okuldaki matematik genellikle belirli yöntemleri öğrenmek ve bunları uygun soru tiplerine uygulamak etrafında dönüyor: denklem çözmek, türev almak, integral hesaplamak veya derste öğrendiğimiz formülleri kullanmak gibi.

Bunları yapabilmek elbette önemli. Ancak matematik yalnızca doğru yöntemi seçip doğru cevabı bulmaktan ibaret değil. Tanımlar yapmak, örnekleri incelemek, tahminlerde bulunmak, karşı örnekler aramak ve bir sonucun neden doğru olduğunu ispatlamak da matematiğin temel parçaları.

Paul Lockhart’ın A Mathematician’s Lament yazısı aynı meseleyi çok daha kapsamlı ve sert bir biçimde ele alıyor: Matematiğin okulda yaratıcı bir uğraş olmaktan çıkarılıp kurallar ve işlemler listesine indirgenmesini eleştiriyor.

Neden matematik öğreniriz?

Matematiğin okulda neden öğretildiği sorulduğunda, gerekçe çoğu zaman onun günlük hayatta doğrudan kullanılmasından ziyade eğitimin ilerleyen aşamalarında ve bazı mesleklerde gerekli görülmesidir. Bu yaklaşım yalnızca Türkiye’ye özgü değildir; birçok ülkede matematik, sonraki derslere, sınavlara ve belirli meslek yollarına hazırlık olarak sunulur.

Matematiğin gerçekten de mühendislikte, teknolojide, finansta, ekonomide, mimarlıkta, ulaşımda, bilimde ve daha pek çok alanda önemli uygulamaları var. Ancak matematik eğitimini yalnızca sonraki derslere, sınavlara veya mesleki kullanıma hazırlık olarak görmek, soru sorma, örüntü fark etme, tahminde bulunma ve ispatlama gibi matematiksel düşünmenin temel yönlerini arka planda bırakabiliyor.

Yıllarca süren matematik eğitiminden de geriye bazen belli belirsiz hatırlanan birkaç formülün yanı sıra çoğu zaman matematiğe karşı olumsuz bir izlenim kalıyor.

Peki matematik yapmak neye benzer?

Matematikçiler elbette hesap yapar ve çeşitli yöntemler kullanır. Fakat asıl mesele çoğu zaman hazır bir yöntemi uygulamak değil, hangi soruların sorulmaya değer olduğunu ve bir iddianın neden doğru ya da yanlış olduğunu anlamaktır.

Şimdi bu düşünme biçimini, dominolarla oynayacağımız küçük bir oyun üzerinden deneyelim.

Domino sorusu için tanımlar

Bir n × m tahta, n satır ve m sütundan oluşan dikdörtgen biçiminde kareli bir tahta olsun.

Bir domino, 1 × 2 boyutunda dikdörtgen bir parçadır. Tahtaya yerleştirildiğinde ortak bir kenarı bulunan iki kareyi kaplar. Yatay veya dikey yerleştirilebilir, ancak çapraz yerleştirilemez.

Aşağıdaki şekillerde aynı renkteki yan yana iki kare, tek bir dominoyu gösterir. Renkler yalnızca farklı dominoları birbirinden ayırt etmeyi kolaylaştırmak için kullanılmıştır.

Bir tahtayı dominolarla kaplamak, tahtadaki her kareyi tam olarak bir kez kaplamak demektir. Açıkta kare kalmaz, dominolar üst üste gelmez ve hiçbir domino tahtanın dışına taşmaz.

Örnek

4 × 4 bir tahtayı dominolarla kaplayabilir miyiz?

Evet. Aşağıdaki 16 kare, aynı renkteki sekiz çift halinde gruplanmıştır. Her çift bir dominoyu gösterir; böylece tahta tamamen kaplanır.

Şimdi ilk sorumuza gelelim.

Soru 1

4 × 4 tahtanın sol üst köşesindeki kare çıkarılmış olsun. Bu kare artık tahtanın bir parçası değildir ve bir domino ile kaplanamaz. Kalan bölgeyi dominolarla kaplayabilir miyiz?

Soru 2

Bu sefer tahtanın sol üst ve sol alt köşelerindeki kareler çıkarılmış olsun. Kalan bölgeyi dominolarla kaplayabilir miyiz?

Soru 3

Şimdi tahtanın sol üst ve sağ alt köşelerindeki kareler çıkarılmış olsun. Kalan bölgeyi dominolarla kaplayabilir miyiz?

Bir çözümü güzel yapan nedir?

Bu örnekte asıl şaşırtıcı olan, tahtanın kaplanamaması değil, bunun neden imkansız olduğunu bütün yerleşimleri tek tek denemeden anlayabilmemizdir.

Tahtayı siyah ve beyaza boyamak ilk bakışta problemle ilgisiz bir fikir gibi görünebilir. Oysa bu yaratıcı bakış açısı, doğru özelliği görünür hale getirir: Her domino renklerden tam olarak birer kare kaplamak zorundadır. Böylece tüm olası yerleşimleri tek bir kısa gözlemle aynı anda eler ve sonucun neden doğru olduğunu görürüz.

Aynı sonuç farklı yollarla ispatlanabilir. Bu ispatların hepsi doğru olsa bile biri daha kısa, daha genel, daha şaşırtıcı veya temel fikri daha açık gösterebilir. Matematikçilerin bir çözümü “zarif” ya da “güzel” bulması bundan kaynaklanır. Matematiğin sanata benzeyen yanı da belki tam olarak budur: Belirli kurallar içinde beklenmedik ve açıklayıcı fikirler üretmek.

Matematiğin mühendislikte, teknolojide, bilimde ve daha pek çok alanda kullanılması onun estetik değerini ortadan kaldırmaz; matematiği yalnızca başka alanların ihtiyaç duyduğu bir araç olarak görmek, önemli bir bölümünü gözden kaçırmak olur. Bazen bir soru yalnızca ilginç olduğu için sorulabilir. Bazen bir ispat, ortaya çıkardığı fikir güzel olduğu için değerlidir.

Bu yüzden iyi bir matematik eğitimi yalnızca yöntemleri öğretmekle yetinmemeli. Bir tahminde bulunmanın, o tahminden şüphe etmenin, yeni bir bakış açısı aramanın ve kısa bir ispat karşısında şaşırmanın nasıl bir şey olduğunu da göstermelidir. Yıllar sonra formüllerin çoğu unutulsa bile, matematiğin böyle bir düşünme biçimi olduğu hatırlanabilir.

Tartışmak için birkaç soru

Matematik öğrenmek yalnız başına yapılan bir etkinlik olmak zorunda değildir. Tartışmak, birlikte örnekler üretmek ve birbirimizin açıklamalarını sorgulamak matematiğin önemli parçalarıdır.

Bu alıştırmaları arkadaşlarınla, ailenle veya seninle sohbet etmeye razı herhangi biriyle tartışabilirsin.

1. Kendi sorularını yaz.

   Bu yazıyı okurken aklına gelen bütün soruları, kolay ya da zor görünmelerine bakmadan not et. Örneğin:

   • n × m bir tahtayı dominolarla kaç farklı şekilde kaplayabiliriz? Bu sayıyı n ve m’ye bağlı bir fonksiyon olarak bulabilir misin?
   • Domino tanımını değiştirip 3 × 1 parçalar, yani üç kare uzunluğunda ve bir kare genişliğinde düz parçalar kullansaydık, yazıda cevapladığımız soruların cevapları nasıl değişirdi?
   • Daha farklı bir şekil seçsek, mesela üç kareden oluşan L biçimli bir parça kullansak, hangi tahtaları bu parçalarla kaplayabilirdik?

   Bu sorulardan hangilerinin kolay, hangilerinin zor olabileceğini tahmin etmeye çalış. Hoşuna giden bir problem seç, küçük deneyler yap ve sonuçlardan yola çıkarak tahminlerde bulun. Verilere uyan bir formül tahmin edebilirsen, neden her zaman doğru olduğunu ispatlamaya çalış.

2. “Bariz” görünen bir bilgiyi sorgula.

   Çok tanıdık olduğu için üzerinde düşünmeden kabul ettiğimiz bir kural seç. Aşağıdakiler benim aklıma gelenler; elbette başka bir şey de seçebilirsin:

   • İki negatif sayının çarpımı neden pozitiftir?
   • Bir sayıyı sıfıra bölme işlemi neden tanımsızdır?
   • Sıfırdan farklı bir sayının sıfırıncı kuvveti neden 1’dir?
   • Doğal sayılarda $a \times b=b \times a$ eşitliği neden geçerlidir? Örneğin $3+3+3+3=4+4+4$ eşitliğinin neden doğru olduğunu açıklayabilir misin?

   Bu bilgiler gerçekten ne kadar bariz? Seçtiğin kuralı bir çocuğa nasıl açıklardın? Bu kural farklı olsaydı matematiğin başka hangi özellikleriyle çelişirdi?

3. Bir kavramı tanımlamaya çalış.

   “Çift sayı”, “asal sayı”, “çokgen”, “simetri”, “sonsuzluk” veya “rastgelelik” gibi bir kavramı, bu kavramı daha önce hiç duymamış birine açıkla.

   Çevrende bir çocuk varsa ona anlatmayı dene. Tanımın bütün doğru örnekleri kapsıyor mu? İstemeden kapsamaması gereken şeyleri de içine alıyor mu?

4. Neler üzerine düşünmekten hoşlanıyorsun?

   Bu yazıda ve yukarıdaki alıştırmaları yaparken hoşuna giden veya başkalarıyla tartışmaktan keyif aldığın noktaları not al.

   Matematikle ilgili ne tür problemler üzerine düşünmek sana keyif veriyor? Yakın zamanda uzun süre düşündüğün ve önemli ilerleme kaydettiğin ya da tamamen çözdüğün problemler oldu mu? Bu süreç sana ne hissettirdi?

   Keyif olmadığı takdirde istikrarı korumak da zorlaşır. Lisans yıllarımda yaptığım en büyük hatalardan biri, ne üzerine düşünmekten gerçekten hoşlandığımı kendime yeterince sormamaktı. Bu nedenle, cevaplaması hiç kolay olmasa da, zaman zaman durup bu soruyu kendimize yöneltmemiz gerektiğini düşünüyorum.

Bu yazıdaki domino kaplama soruları, Jay Cummings’in Proofs: A Long-Form Mathematics Textbook kitabının “Chessboard Problems” bölümündeki örnek ve alıştırmalardan uyarlanmıştır.